심플렉스(Simplex) 상의 로그 비율 전파: 구성 데이터(Compositional Data)의 셀 단위 오염(Cellwise

구성 데이터(Compositional Data)는 반드시 로그 비율(log-ratios)을 통해 분석되어야 합니다. 이 분야의 정의적 공리(axiom)인 척도 불변성(scale invariance) 때문에 다른 대안은 존재하지 않습니다. 중심 로그 비율(centred log-ratio, clr)은 모든 부분의 기하 평균(geometric mean)으로 나누기 때문에, 단 하나의 오염된 성분이 모든 중심 로그 비율 좌표를 동시에 이동시키며, 어떤 좌표 선택으로도 줄일 수 없는 고정된 양만큼 로그 비율 벡터를 변위시킵니다. 우리는 이러한 관찰을 바탕으로 심플렉스(simplex) 상에서의 셀 단위 오염(cellwise contamination) 이론을 개발합니다. 곱셈적 섭동(multiplicative perturbation)으로부터 구축된 척도 불변 오염 모델은, 단일 원시 부분(raw part)의 부패가 대조 행렬(contrast matrix)에 의해 결정되는 방향을 가진 로그 비율 벡터의 계수 1(rank-one) 이동을 유도한다는 전파 정리(propagation theorem)와 결합됩니다. 결과적으로 나타나는 섭동 패턴은 로그 비율 좌표계에서의 그 어떤 독립적인 셀 단위 오염 모델과도 동일하지 않습니다. 따라서 로그 비율에 적용되는 표준 유클리드(Euclidean) 셀 단위 방식은 심플렉스 오염 메커니즘 하에서 부적절(ill-posed)합니다. 유클리드 셀 단위 붕괴(breakdown)가 열 집중 구성(column-concentrated configuration)에 의해 나타나는 추정량들—MCD, $S$-, $τ$-, 그리고 위치 및 산포(location and scatter)의 좌표별 $M$-추정량(coordinate-wise $M$-estimators)을 포함하는 클래스—의 경우, 심플렉스 상에서의 셀 단위 붕괴 값은 유클리드 대응물에 비해 $(D-1)/D$ 인자만큼 감소합니다. 이 감소는 타이트(tight)하며, 순수하게 $nD$개의 원시 셀(raw cells)과 $n(D-1)$개의 ilr 셀 사이의 정규화 불일치(normalisation mismatch)에서 발생합니다. 변동 행렬(variation matrix)에 대한 셀 단위 영향 함수(cellwise influence function)는 진단적 지문(diagnostic fingerprint)을 가집니다. 단일 부분의 오염은 정확히 하나의 행과 열을 팽창시켜, 책임이 있는 성분을 식별합니다. 이러한 결과들은 심플렉스 상에서의 셀 단위 강건(cellwise-robust) 방법론을 위한 이론적 토대를 형성합니다. 동반 논문에서는 전파 기하학(propagation geometry)을 활용하는 셀 단위 강건 PCA 추정량을 개발하고, 이를 시뮬레이션 및 지질화학(geochemical) 데이터에 대해 입증합니다.