선호도 형상 기반 기대 하이퍼볼륨 및 R2 개선: 정확한 계산과 단조성

본 논문은 베이지안 다목적 최적화 (Bayesian multiobjective optimization)를 위한 선호도 형상 기반 기대 개선 (preference-shaped expected improvement) 기준을 연구합니다. 우리는 유사한 알고리즘적 목적으로 자주 사용되지만 기하학적으로는 서로 다른 두 가지 지표 (indicator) 군을 고려합니다. 하이퍼볼륨 (hypervolume) 지표는 디스토피아적 참조점 (dystopian reference point)을 기반으로 하며 목적 공간 (objective space)에서 지배되는 부피를 측정합니다. R2 지표는 유토피아적 지점 (utopian point)을 기반으로 하며 가중 Tchebycheff 스칼라화 포락선 (weighted Tchebycheff scalarization envelopes)을 통해 근사 집합을 평가합니다. 본 논문의 목적은 어떤 선호도 변환 (preference transformations)이 정확한 계산 (exact computation), 파레토 호환성 (Pareto compatibility), 그리고 단조성 (monotonicity) 속성을 보존하는지, 그리고 어떤 변환이 근본적인 기하학적 구조를 변화시키는지 명확히 하는 것입니다. 하이퍼볼륨 측면에서는 Deng 표현 (Deng representation)을 통해 정전적 EHVI (canonical EHVI)를 재검토하고, 바람직함 좌표 (desirability coordinates)에서의 곱-밀도 가중 EHVI (product-density weighted EHVI)를 공식화하며, 선형 원뿔 변환 (linear cone transformation) 이후의 일반적인 EHVI로서 원뿔 기반 EHVI (cone-based EHVI)를 논의하고, 분산 단조성 (variance monotonicity)이 실패할 수 있는 절단된 EHVI (truncated EHVI)와 이러한 사례들을 분리합니다. R2 측면에서는 정확한 적분 R2 개선 (exact integral R2 improvement)이 일반적으로 일반적인 목적 공간 가중 하이퍼볼륨 (objective-space weighted hypervolume)이 아님을 증명합니다. 그 장애물은 저차원적입니다: 르베그-밀도 하이퍼볼륨 (Lebesgue-density hypervolume)은 Tchebycheff 스칼라화가 여전히 감지하는 특정 경계 기여분 (boundary contributions)을 포착할 수 없습니다. 그런 다음 우리는 정확한 적분 R2 개선이 정확히 스칼라화 공간 부피 (scalarization-space volume), 즉 기존 스칼라화 포락선 (incumbent scalarization envelope)과 참조 포락선 (reference envelope) 사이의 Tchebycheff 그림자 (Tchebycheff shadow)의 측도임을 보여줍니다. 이 표현은 이산 R2를 위한 유한 합 ER2I 알고리즘, 정확한 적분 R2를 위한 수치 적분법 (quadrature methods), 그리고 ER2I가 스칼라 가우시안 기대 개선 (scalar Gaussian expected improvements)의 적분인 달성 공간 가우시안 대리 모델 (achievement-space Gaussian surrogate) 공식화를 제공합니다.