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DGM과 PINN 알고리즘이 비선형 PDE를 해결할 때 발생하는 국소 최솟값 수렴 문제를 다룹니다. 준선형 PDE에 대해 경사 하강법으로 훈련된 신경망이 실제 PDE 해로 수렴함을 수학적으로 증명합니다.
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원문 바로가기Deep Galerkin Method (DGM)와 Physics Informed Neural Networks (PINNs)는 급격히 성장하는 과학적 머신러닝 (scientific machine learning) 분야에서 편미분 방정식 (PDEs)을 해결하기 위해 널리 사용되는 방법이 되었습니다. 이러한 방법들에서, 신경망은 신경망의 PDE 잔차 (PDE residual)를 최소화하기 위해 (확률적) 경사 하강법 (stochastic gradient descent)을 사용하여 PDE 해를 근사하도록 훈련됩니다. PDE 잔차 목적 함수 (PDE residual objective function)의 비볼록성 (non-convexity)으로 인해, 훈련된 신경망은 원칙적으로 목적 함수의 국소 최솟값 (local minimizer)으로만 수렴할 수 있습니다 (이는 PDE의 해가 아닐 수 있습니다). 따라서 이러한 알고리즘의 수학적 기초에 관한 오랜 의문이 존재해 왔으며, 훈련된 신경망이 PDE 해로 수렴한다는 것을 입증하는 것은 매우 가치 있는 일입니다. 일련의 준선형 PDE (semi-linear PDEs; 해와 그 1차 도함수에 대해 비선형인 경우)에 대하여, 우리는 PDE 잔차 목적 함수를 최소화하기 위해 경사 하강법으로 훈련된 신경망이 PDE 해로 수렴함을 증명합니다.