생성 모델 (Generative models)은 고차원 주변 공간 (ambient space) 내의 저차원 매니폴드 (manifold)에 존재하는 데이터 분포를 학습합니다. 이 매니폴드 위에서 미분 가능한 목적 함수 (differentiable objectives)를 최적화하는 것은 매우 도전적인 과제입니다. 주변 공간의 손실 지형 (loss landscape)은 고차원이며, 울퉁불퉁하고, 비볼록 (non-convex)하기 때문입니다. 매니폴드의 기하학적 구조를 고려하지 않는 직접적인 경사 하강법 (gradient descent)은 매니폴드에서 빠르게 벗어나게 됩니다. 미분동형 최적화 (Diffeomorphic optimization)는 확산 모델 (diffusion models)과 흐름 모델 (flow models)이 데이터 매니폴드로부터 우리가 경사 하강법을 수행하는 훨씬 더 단순한 기저 공간 (base space)으로의 사상 (map)을 제공한다는 관찰에서 시작됩니다. 미분 기하학 (differential geometry)을 사용하여, 우리는 이것이 $\mathcal{O}(\lambda^2)$ 보정 항까지 데이터 매니폴드 상의 리만 경사 하강법 (Riemannian gradient descent)과 동일함을 보여주며, 구조적으로 궤적을 매니폴드 위에 유지하고 더 부드러운 최적화 표면을 생성합니다. 단백질 설계 (protein design)를 위해, 우리는 미분동형 최적화를 행렬 리 군 (matrix Lie groups) $\mathrm{SO}(3)$ 및 $\mathrm{SE}(3)$로 확장하여, autograd와 호환되는 $\mathrm{SO}(3)$ 경사 (gradient)와 리 군 ODE 솔버 (Lie-group ODE solvers)를 통한 역전파 (backpropagation)를 위한 일반화된 수반 상태 방법 (adjoint-state method)을 도출합니다. 미분동형 최적화는 FrameFlow를 이용한 이차 구조 타겟팅 (secondary-structure targeting)에서 튜닝된 가이던스 (tuned guidance)보다 개선된 성능을 보였으며 (Ramachandran 타겟 내 잔기 비율 $91.3%$ 대 $63.3%$), 펩타이드 결합 친화도 (peptide binding affinity)에서 OC-Flow보다 $2\times$ 빠른 속도로 성능을 앞질렀으며, 수백 개의 잔기를 가진 구조들에 대해 PDB 테스트 세트 전반에서 Rosetta 에너지를 수천 단위로 감소시켰습니다.