React와 같은 반응형 프로그래밍 (Reactive programming) 프레임워크는 출력이 변화하는 입력에 어떻게 의존하는지를 선언적으로 지정함으로써 개발자가 대화형 애플리케이션을 구축할 수 있게 해줍니다. 이러한 모델은 애플리케이션이 무엇을 계산하는지 추론하기 쉽게 만들지만, 반응형 프로그램의 시간적 동작 (temporal behavior)은 여전히 이해하고 검증하기 어렵습니다. 애플리케이션은 프레임워크 런타임 (runtime)에 숨겨진 타이밍 가정에 암시적으로 의존하며, 이는 stale reads, 일시적 불일치 (transient inconsistencies), 순서 의존적 동작 (order-dependent behavior), 그리고 의도하지 않은 피드백 루프 (feedback cycles)와 같은 미묘한 버그로 이어집니다. 이러한 과제를 해결하기 위해, 본 논문은 React에서 영감을 받은 반응형 프로그래밍을 위한 핵심 계산법 (core calculus)인 Willow를 제시합니다. Willow는 컴포넌트가 사용자 인터페이스 설명을 생성하는 근본적인 평가 단계인 렌더링 (renders) 관점에서 계산을 모델링하는 시간 인지적 운영 의미론 (time-aware operational semantics)을 제공하며, 이를 타이밍 동작을 효과 (effects)로서 정적으로 추적하는 새로운 타입 및 효과 시스템 (type-and-effect system)과 결합합니다. "next" 모달리티 (modality)는 렌더링뿐만 아니라 호스트 환경이 노출하는 모든 단위—렌더링, 네트워크 요청, 또는 밀리초 (milliseconds)—로 측정되는 지연을 표현합니다. 일련의 모달리티들은 이벤트 핸들러 (event handlers)의 생명주기를 추적합니다: 핸들러가 언제 등록되는지, 언제 실행되는지, 대기 중인 이벤트가 언제 취소되는지, 그리고 핸들러가 언제 제거되는지를 추적합니다. 핵심적인 통찰은 결과적인 효과들이 시간적 의존성 그래프 (temporal dependency graph)를 형성한다는 것이며, 이를 통해 표준 그래프 알고리즘이 비종료 (non-termination) 또는 성능 저하를 유발하는 렌더링 폭포 (render cascades) 및 렌더링 간 루프 (inter-render loops)를 정적으로 탐지할 수 있게 합니다. 우리는 Willow를 형식화하고, 시간 인지적 의미론에 대한 효과 시스템의 보존성 (preservation)을 증명합니다. 또한 자동 효과 추론 (automatic effect inference) 기능이 있는 프로토타입 체커를 구현하고, 디바운싱 (debouncing), 폼 입력 (form inputs), API 기반 업데이트와 같은 대표적인 반응형 패턴에서 이를 평가합니다. 우리의 결과는 시간 인지적 타이핑 (time-aware typing)이 반응형 프로그램의 시간적 정확성 (temporal correctness)을 추론하기 위한 실용적인 토대를 제공함을 입증합니다.