[criblate.com에서 자막 수정을 제출하세요] 여러분이 지금 보고 계신 것은 이 영상에서 저희가 하나씩 만들어 나갈 다소 복잡한 다이어그램인데, 이것은 미분방정식(differential equations)을 연구하는 데 사용되는 가장 강력한 도구 중 하나인 라플라스 변환(Laplace transform)의 의미를 풀어헤치는 시각화 자료입니다. 이 도구는 학생으로서 방정식을 푸는 방법을 배울 수는 있지만, 실제로 그것이 무엇을 하고 있는지에 대해서는 완전히 어둠 속에 남겨지는 종류의 도구 중 하나입니다. 자동차 운전을 배우는 것과 내부 연소 엔진이 어떻게 작동하는지 배우는 것을 생각해 보세요.
둘 다 가치 있는 탐구이며, 어느 한쪽이 반드시 더 낫다고 할 수는 없습니다. 실제로 운전이 더 실용적일 것입니다. 하지만 보닛을 열고 그 안의 메커니즘을 이해하게 될 때 느끼는 깊은 만족감이 있습니다. 마찬가지로, 이 영상의 주요 목표는 보닛을 열어 우리가 이 객체 내부에서 기다리는 아름다운 수학 중 일부를 보여드리는 것입니다. 엄밀히 말하자면, 제가 보여주고 싶은 내용 중 많은 부분은 여러분의 유일한 목표가 방정식을 푸는 것이라면 필요하지 않습니다. 그렇다고 하더라도, 미분방정식 학생들에게 이 내용은 여러분이 암기해야 하는 내용을 훨씬 더 기억하기 쉽게 만들 것이라고 생각합니다. 그리고 이 기계를 해부하고 조각별로 공부한 후에, 저희와 여러분은 모든 것을 시험 운전해 보면서 구체적이고 매우 흥미로운 미분방정식을 푸는 것이 어떤 모습인지 확인하게 될 것입니다.
지금 바로 정의를 제시하기에 앞서, 라플라스 변환이 어떤 문제를 해결하려는 것인지부터 이야기해 봅시다. 이 내용은 이전 장에서 많이 다루었으며, 여기서 다시 한번 강조할 두 가지 주요 아이디어가 있습니다. 첫째, 지수 함수(exponential functions)를 이해해야 합니다. 저는 항상 이를 $e^{st}$로 표기할 것이며, 여기서 $t$는 시간을 나타내고, $s$는 숫자를 의미합니다. $s$가 어떤 특정 지수를 결정하지만, 이 주제에 매우 중요한 것은 우리가 $s$에 복소수(complex number) 값을 취할 자유를 준다는 점입니다.
이 부분은 이전 장에서 훨씬 더 철저하게 다루었지만, 간단히 요약하자면, 만약 $s$가 허수 부분(imaginary part)을 가지고 있다면, 시간이 흐름에 따라 함수 출력값이 복소 평면(complex plane)에서 회전합니다. $s$의 실수 부분이 음수이면 크기가 시간에 따라 0으로 감쇠하지만, 우연히 양수라면 그 의미는 크기가 기하급수적으로 증가한다는 것입니다. 만약 이 내용 중 어느 것이 불안하게 느껴지거나 왜 그런지 이해하고 싶다면 이전 장을 다시 시청하시되, 여기부터는 모두가 이 개념에 익숙하다고 가정하겠습니다.
그렇다면 왜 중요할까요? 왜 이런 함수들에 대해 그렇게 이야기하는 걸까요? 그것은 여러분이 알아야 할 두 번째 사실 때문입니다. 즉, 물리에서 발생하는 많은 함수들이 지수 조각(exponential pieces)들의 조합으로 표현될 수 있다는 것입니다. 이 강의 전체를 통해 반복적으로 돌아가며 도움이 될 매우 좋은 예시가 있습니다. 바로 $\cos(t)$입니다. 이 파동형 함수는 두 개의 순허수 지수 함수의 합으로 분해될 수 있습니다. 기본적으로 $e^{it}$를 취하면 반시계 방향 회전을 얻고, $e^{-it}$는 다른 방향으로 회전합니다. 따라서 이 둘을 더할 때 (두 회전 벡터를 끝에서 끝으로 추가한다고 상상하며) 허수 부분이 서로 상쇄되고, 남게 되는 것은 실수 축(real number line)에 고정되어 앞뒤로 진동하는 형태입니다.
현재로서는 이 합은 -2와 2 사이의 값을 가지지만, 코사인(cosine) 함수는 -1과 1 사이의 값만 가지므로, 결국 모든 것에 1/2을 곱하게 됩니다. 더 복잡한 함수들은 더 많은 지수적 조각들로 분해될 수 있습니다. 예를 들어, 이 강의 후반부에서 우리는 구동된 조화 진동자(driven harmonic oscillator)라는 것을 깊이 파고들 것입니다. 이는 기본적으로 용수철 위의 질량이 시간의 흐름에 따라 진동하는 외부 힘의 영향을 받는 시스템입니다. 스포일러를 드리자면, 이 현상을 설명하는 방정식의 해는 결국 네 개의 지수적 조각들의 합처럼 보이게 됩니다.
그 조각들 중 두 개는 용수철의 고유 공진 주파수(natural resonant frequency)와 일치하는 방식으로 진동하고 감쇠하며, 나머지 두 개는 외부 힘과 일치하는 방식으로 진동합니다. 따라서 이와 같은 경우들 및 다른 많은 경우들에 대해 우리가 원하는 것은 일종의 도구, 즉 수학적 기계입니다. 이 기계에 함수나 심지어 그 함수를 설명하는 미분 방정식(differential equation)을 입력하면, 그 기계가 해당 함수가 어떤 특정한 지수적 조각들로 분해되는지를 우리에게 보여줄 것입니다. 즉, 지수(exponent)의 값 $s$가 무엇인지, 그리고 이에 대응하는 계수(coefficients)가 무엇인지를 노출합니다.
이제 여러분은 왜 지수적 조각들인지, 다른 것에 집중하지 않는지 궁금해할 수 있습니다. 간단히 말하자면, 이러한 함수들의 경우 미분(derivative)을 취하면 정확하게 어떤 숫자로 곱하는 것과 똑같이 보이기 때문입니다. 즉, $s$를 곱하는 것과 같습니다. 마지막에 알게 될 것은 이로 인해 함수를 지수적 조각들로 분해할 수 있게 해주는 그 동일한 기계가 미분 방정식을 대수학(algebra)으로 변환하는 것도 가능하다는 것입니다. 근본적으로 모든 곳에서 미분을 보면, 그것이 $s$를 곱하는 것으로 바뀝니다. 이제 우리가 복소수 값을 갖는 지수 함수(complex-valued exponentials)에 매우 집중하는 이러한 맥락에서, 엔지니어들은 제가 왼쪽에 묘사하고 있는 이 복소 평면(complex plane)에 특별한 이름을 붙였습니다. 이곳은 지수의 항 $s$가 가질 수 있는 모든 가능한 값을 나타냅니다.
사람들은 이것을 s-평면(s-plane)이라고 부릅니다. 도움이 되는 사고방식은 s-평면의 각 개별 점이 전체 지수 함수 $e^{st}$를 인코딩한다고 생각하는 것입니다. 이 그림에서 제가 보여주는 그래프는 출력의 실수 성분만을 묘사하지만, 각 점은 전체 복소수 값 함수(complex-valued function)를 나타낸다는 것을 염두에 두십시오. 하지만 이러한 그래프만으로도 직관을 얻기에는 충분합니다. 가상의 부분이 커질수록 진동이 빨라지는 것을 알 수 있고, 눈을 왼쪽에서 오른쪽으로 훑어보면 실수 부분은 감쇠 또는 성장을 반영한다는 것을 알게 될 것입니다.
따라서 이것을 목표로 삼아 오늘 여러분과 제가 만들어 갈 장치, 즉 함수가 어떻게 지수 조각들로 분해되는지를 보여주는 것은, 의심할 여지 없이 라플라스 변환(Laplace transform)입니다. 여기서 '변환'이라는 단어는 조금 재미있습니다. 기본적으로 함수가 숫자를 입력받아 새로운 숫자를 출력하는 것과 같은 방식으로, 우리는 종종 수학에서 전체 함수를 받아 새로운 함수를 출력하는 더 메타적인 연산에 '변환(transform)'이라는 단어를 사용합니다. 라플라스 변환의 경우, 일반적인 관례는 우리가 원래 함수를 이름 붙이는 데 사용하는 것이 무엇이든 간에, 그 대문자 버전을 사용하여 우리의 새 함수 이름을 짓는 것입니다.
그리고 우리의 원래 함수가 시간을 입력으로 받는 이 설정에서, 새로 변환된 함수는 새로운 종류의 입력값인 복소수 값 $s$를 갖게 됩니다. 정의를 꺼내 분석하기 전에 이 새로운 함수가 실제로 무엇을 하는지 빠르게 미리 보는 것이 도움이 될 것 같습니다. 만약 여러분의 원래 함수 $f(t)$가 여러 지수 조각들의 합으로 분해될 수 있다고 가정해 봅시다. 여기에 라플라스 변환을 적용하여 새로운 변수 $s$에 대한 새로운 함수를 얻게 된다면, 이 새로운 함수를 s-평면 위에 플로팅했을 때, 제가 곧 설명할 방식으로 보면, 여러분이 보게 되는 것은 그 지수 조각들 중 하나에 해당하는 각 $s$ 값 위에 있는 날카로운 스파이크들입니다.
이 스파이크들은 멋진 이름이 있는데, 그것을 함수의 극점(poles)이라고 부릅니다. 따라서 여러분의 함수가 어떤 지수함수의 합으로 분해될 수 있다는 것을 미리 알지 못하더라도, 이 변환된 버전을 이해하고 특히 극점을 이해한다면, 그 지수적인 조각들이 무엇인지 알아낼 수 있습니다.
이 시점에서 여러분은 이것이 실제로 어떻게 정의되는지 궁금할 것입니다. 그 완전한 형태로 볼 때, 이 정의는 두 가지 별도의 단계로 생각할 수 있습니다.
첫째, 여러분의 함수에 표현식 $e^{-st}$를 곱하고, 둘째, 그 결과를 시간($t$)이 0부터 무한대까지 적분합니다. 이 적분과 그 미묘한 차이점들에 대해서는 곧 이야기할 것이지만, 지금은 내부 표현식에 집중해 주세요.
여기서 $s$ 항은 새로 도입된 매개변수이며, 우리가 얻은 새로운 변환 함수의 입력값입니다. 말씀드렸듯이, 이것은 복소수(complex number)입니다. 이 비디오에서 문자 s를 볼 때마다 그것은 복소수라는 것을 기억하세요. 제가 생각하는 방식으로는, $s$-평면 위에서 이 값 $s$ 주변을 자유롭게 움직이는 것을 상상할 수 있고, 마치 우리의 함수 $f(t)$와 가깝게 일치하는 특정 지수함수가 무엇인지 찾아다니는 것과 같습니다.
예를 들어, 우리의 함수가 $ ext{cos}(t)$라고 가정해 봅시다. 방금 논의했듯이, 이 함수는 이미 두 개의 지수함수인 $e^{it}$와 $e^{-it}$의 합으로 분해될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 저는 최종 결과를 플롯할 때 이러한 스파이크들이 핵심적인 $s$ 값들 위에서 나타날 것이라는 아이디어를 미리 보여드렸습니다. 이 예시에서는 이는 $ ext{+i}$와 $ ext{-i}$ 위의 극점(poles)을 의미하며, 이 예를 가져와 $ ext{cos}(t)$의 전개된 표현식을 대입해 봄으로써 이미 어느 정도 직관을 얻을 수 있습니다.
이 전개를 살펴보면서, 이 두 항의 곱에 대해 잠시 생각해 보시기 바랍니다. 두 지수 함수를 곱하면, 그 지수 안의 내용물들이 더해지게 되므로, 남는 것은 $e$를 $i - s imes t$ 승으로 올린 값입니다. 제가 저 값을 오른쪽 아래에 플로팅하고, s 평면은 오른쪽 위에 유지하겠습니다. 이미 살펴본 지수 함수들과 마찬가지로, 시간이 0에서 무한대로 진행됨에 따라 이 값은 진동하거나 감쇠할 수도 있고, 혹은 성장할 수도 있습니다. 구체적인 모양은 우리가 $s$ 값을 어떻게 설정하느냐에 달려 있습니다.
여기서의 경우, $s$ 값을 움직이면서 독특하게 단조로운(boring) 행동을 유발하는 특정한 값이 하나 존재합니다. 만약 $s$를 $i$로 설정한다면, 지수 안의 그 항은 0이 되므로, 전체 함수는 단순히 $e^0$, 즉 상수 값인 1에 고정됩니다. 그리고 이것은 거의 모든 $s$ 값에 적용되는 핵심 아이디어입니다. 이와 같은 지수 함수는 시간이 지남에 따라 일반적으로 일종의 나선형처럼 변화할 것이지만, 우리가 찾고 있는 특수한 값, 이 경우 $s=i$에서는 대신 값이 상수에 고정됩니다.
따라서 한발 물러서서 생각해 본다면, 만약 당신이 수학자이고 함수 내부에 숨어 있는 지수 조각들을 탐지하는 일종의 기계를 발명하려고 한다고 가정해 봅시다. 예를 들어, 코사인(cosine) 안에 $e^{it}$와 $e^{-it}$가 숨어 있다는 것을 감지하는 것이죠. 당신은 스스로에게 질문할 수 있습니다. 이처럼 합산된 항들 중 하나가 비밀리에 단지 상수일 때를 탐지할 수 있는 방법이 있을까? 본질적으로, 이것이 모든 것을 포괄하는 전체 정의 속에서 역할을 하는 적분(integral)의 역할입니다. 즉, 시간이 0부터 무한대까지 진행됨에 따라 적분되는 것입니다.
한편으로, 만약 미적분학(calculus)에 익숙하다면, 이 적분이 원하는 s 값 범위에서 어떤 종류의 급격한 스파이크를 나타낼지 미리 예상할 수 있을지도 모릅니다. 만약 상수(constant)를 0부터 무한대까지 적분하면 발산합니다(blows up). 하지만 여기에는 실제로는 상당히 많은 미묘한 차이점(nuance)이 있습니다. 먼저, 적분 내부의 함수는 복소수 값(complex number values)을 가집니다. 그리고 이는 사물을 만족스럽게 해석하고 싶어 하는 우리들에게 자연스러운 질문을 던지게 합니다. 복소수 값을 갖는 함수를 어떻게 적분해야 할까요?
시간이 되신다면, 앞으로 10분 정도 동안은 이 같은 적분이 실제로 무엇을 의미하는지, 어떻게 시각화할 수 있는지, 그리고 제가 보여주는 그래프가 이 적분의 문자 그대로의 의미와 약간 다른 무언가를 나타내는 이유를 깊이 파고들어 분석하고 설명해 드리고 싶습니다. 모든 새로운 수학 개념과 마찬가지로, 쉬운 것부터 시작하여 복잡성으로 나아가는 것이 가장 좋습니다. 그러니 시작하자면, 일단 이 함수 f(t) 자체는 무시하고 $e^{-st}$ 부분만 적분하는 데 집중해 봅시다. 그리고 워밍업을 위해, 모든 복잡성에 뛰어들기 전에, s가 실수(real number)라고 가정해 봅시다. 즉, 우리가 평소처럼 그래프로 그릴 수 있는 친근한 실수 값 함수라는 의미입니다.
일반적으로 미적분학을 처음 배울 때, 적분을 이와 같은 그래프 아래의 면적을 알려주는 것으로 해석하는 법을 배웁니다. 예를 들어, s 값을 1로 설정하고 실제로 이 적분을 계산하는 절차를 거치면, 부정적분(antiderivative)을 취하고 두 개의 다른 경계값(bounds)에서 차이를 구하게 됩니다. 무한대가 있기 때문에, 그 경계값에서의 극한값(limiting value)을 취할 수 있다고 할 수 있습니다. 결과적으로 이 표현은 1과 같아집니다. 그리고 우리는 이것을 그래프 아래의 면적이 1이라는 것을 알려준다고 해석할 수 있으며, 이는 재미있는 일입니다.
