다양한 초기 조건을 가진 Fokker-Planck 방정식 해결을 위한 연산자 학습 (Operator learning)

Fokker-Planck 방정식 (FPE)은 확률적 역학 (stochastic dynamics)에 의해 지배되는 시스템의 확률 밀도 함수 (PDFs)의 시간 진화를 기술하는 데 중추적인 역할을 합니다. 본 연구에서는 전체 범위의 초기 조건에 대해 FPE의 해 연산자 (solution operator)를 효율적으로 근사하기 위한 조건부 정규화 흐름 (conditional normalizing flow) 기반의 물리 정보 신경망 (PINN) 프레임워크를 제안합니다. 마르코프 확률 과정 (Markovian stochastic processes)을 위한 Chapman-Kolmogorov 방정식을 활용하여, 이 문제는 임의의 지점에 중심을 둔 디락 질량 (Dirac mass)으로부터 초기 시간에 시작하는 전이 PDF (transition PDF)를 근사하는 문제로 재구성됩니다. 연관된 선형화된 확률 미분 방정식 (SDE)의 PDF는 정규화 흐름 (normalizing flow)을 위한 기저 분포 (base distribution)로 사용되어, 특히 짧은 시간 동안 타겟 PDF에 대한 좋은 근사를 제공하며, 이를 통해 디락 델타 (Dirac delta) 초기 분포와 관련된 사상 (map)의 특이점 (singularity)을 피할 수 있습니다. 또한, 짧은 시간에서 발생하는 수치적 불안정성을 완화하기 위해 시간 가중 손실 함수 (time-weighted loss function)를 도입하여, 시간이 경과함에 따라 인과성 (causality)과 학습 난이도 사이의 균형을 달성합니다. 제안된 방법의 효과와 견고함 (robustness)을 입증하기 위해 다양한 수치 실험이 제시됩니다.