프라이버시를 보호하는 연속 카운팅 (Private continual counting)은 차분 프라이버시 (Differential privacy) 분야의 근본적인 문제입니다. 각 $1$이 한 개인의 기여를 나타내는 길이 $n$의 이진 스트림 (binary stream)이 주어졌을 때, 목표는 각 개인의 프라이버시를 보호하면서 모든 누적 카운트 (running counts)를 공개하는 것입니다. 표준 알고리즘은 이진 트리 메커니즘 (binary tree mechanism)이며, 이 알고리즘의 가우시안 노이즈 (Gaussian-noise) 변형은 근사 차분 프라이버시 (approximate differential privacy) 설정에서 $\log^{3/2} n$에 비례하는 기대 $\ell_\infty$ 오차를 달성합니다. 스트림 길이에 대한 이러한 의존성이 필수적인지는 핵심적인 미해결 문제로 남아 있었습니다. 본 연구에서는 연속 카운팅을 위한 모든 차분 프라이버시 메커니즘이 반드시 $\Omega(\log^{3/2} n)$의 기대 $\ell_\infty$ 오차를 발생시켜야 함을 증명함으로써 $n$에 대한 의존성 문제를 해결합니다. 이는 이진 트리 메커니즘이 근사-DP (approximate-DP) 설정에서 점근적으로 최적 (asymptotically optimal)임을 보여줍니다. 결과적으로, 우리는 선형 쿼리 (linear queries)에 대해 유전적 불일치 (hereditary discrepancy)와 프라이빗 $\ell_\infty$ 오차 사이의 가능한 최대 격차를 도출하였으며, 이를 통해 유전적 불일치 관점에서 알려진 일반적인 상한 (upper bound)이 쿼리 수에 대해 최적의 의존성을 가짐을 보여줍니다.